Grundwissen Mathematikstudium - Analysis Und Lineare Algebra Mit Querverbindungen

Grundwissen Mathematikstudium - Analysis Und Lineare Algebra Mit Querverbindungen : Analysis Und Lineare Algebra Mit Querverbindungen

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Description

Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik in Bachelor- und Lehramts-Studieng ngen. Es bietet in einem Band ein lebendiges Bild der mathematischen Inhalte, die blicherweise im ersten Studienjahr behandelt werden (und etliches mehr).

Mathematik-Studierende finden wichtige Begriffe, S tze und Beweise ausf hrlich und mit vielen Beispielen erkl rt und werden an grundlegende Konzepte und Methoden herangef hrt.

Im Mittelpunkt stehen das Verst ndnis der mathematischen Zusammenh nge und des Aufbaus der Theorie sowie die Strukturen und Ideen wichtiger S tze und Beweise. Es wird nicht nur ein in sich geschlossenes Theoriengeb ude dargestellt, sondern auch verdeutlicht, wie es entsteht und wozu die Inhalte sp ter ben tigt werden.

Herausragende Merkmale sind:



durchg ngig vierfarbiges Layout mit mehr als 600 Abbildungen
pr gnant formulierte Kerngedanken bilden die Abschnitts berschriften
Selbsttests in kurzen Abst nden erm glichen Lernkontrollen w hrend des Lesens
farbige Merkk sten heben das Wichtigste hervor
"Unter-der-Lupe"-Boxen zoomen in Beweise hinein, motivieren und erkl ren Details
"Hintergrund-und-Ausblick"-Boxen stellen Zusammenh nge zu anderen Gebieten und weiterf hrenden Themen her
Zusammenfassungen zu jedem Kapitel sowie bersichtsboxen
mehr als 400 Verst ndnisfragen, Rechenaufgaben und Aufgaben zu Beweisen
deutsch-englisches Symbol- und Begriffsglossar



Der inhaltliche Schwerpunkt liegt auf den Themen der Vorlesungen Analysis 1 und 2 sowie Linearer Algebra 1 und 2. Behandelt werden dar ber hinaus Inhalte und Methodenkompetenzen, die vielerorts im ersten Studienjahr der Mathematikausbildung vermittelt werden.

Auf der Website zum Buch www.matheweb.de finden Sie



Hinweise, L sungswege und Ergebnisse zu allen Aufgaben
Zusatzmaterialien wie Maple-Worksheets zu verschiedenen Themen des Buchs
die M glichkeit, zu den Kapiteln Fragen zu stellen

Das Buch wird allen Studierenden der Mathematik vom Beginn des Studiums bis in h here Semester hinein ein verl sslicher Begleiter sein.
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Product details

  • Hardback | 1172 pages
  • 206 x 276 x 54mm | 3,161.52g
  • Spektrum Akademischer Verlag (Germany)
  • Basingstoke, United Kingdom
  • German
  • 2013 ed.
  • Bibliography; 52 Tables, color
  • 3827423082
  • 9783827423085
  • 2,114,993

Back cover copy

Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik in Bachelor- und Lehramts-Studiengängen. Es bietet in einem Band ein lebendiges Bild der mathematischen Inhalte, die üblicherweise im ersten Studienjahr behandelt werden (und etliches mehr).



Mathematik-Studierende finden wichtige Begriffe, Sätze und Beweise ausführlich und mit vielen Beispielen erklärt und werden an grundlegende Konzepte und Methoden herangeführt.



Im Mittelpunkt stehen das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und des Aufbaus der Theorie sowie die Strukturen und Ideen wichtiger Sätze und Beweise. Es wird nicht nur ein in sich geschlossenes Theoriengebäude dargestellt, sondern auch verdeutlicht, wie es entsteht und wozu die Inhalte später benötigt werden.



Herausragende Merkmale sind



- durchgängig vierfarbiges Layout mit mehr als 600 Abbildungen



- prägnant formulierte Kerngedanken bilden die Abschnittsüberschriften



- Selbsttests in kurzen Abständen ermöglichen Lernkontrollen während des Lesens



- farbige Merkkästen heben das Wichtigste hervor



- "Unter-der-Lupe"-Boxen zoomen in Beweise hinein, motivieren und erklären Details



- "Hintergrund-und-Ausblick"-Boxen stellen Zusammenhänge zu anderen Gebieten und weiterführenden Themen her



- Zusammenfassungen zu jedem Kapitel sowie Übersichtsboxen



- mehr als 400 Verständnisfragen, Rechenaufgaben und Aufgaben zu Beweisen



- deutsch-englisches Symbol- und Begriffsglossar





Der inhaltliche Schwerpunkt liegt auf den Themen der Vorlesungen Analysis 1 und 2 sowie Linearer Algebra 1 und 2. Behandelt werden darüber hinaus Inhalte und Methodenkompetenzen, die vielerorts im ersten Studienjahr der Mathematikausbildung vermittelt werden.



Auf der Website zum Buch www.matheweb.de finden Sie



- Hinweise, Lösungswege und Ergebnisse zu allen Aufgaben



- Zusatzmaterialien wie Maple-Worksheets zu verschiedenen Themen des Buchs



- die Möglichkeit, zu den Kapiteln Fragen zu stellen



Das Buch wird allen Studierenden der Mathematik vom Beginn des Studiums bis in höhere Semester hinein ein verlässlicher Begleiter sein.
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Table of contents

Vorwort.- 1 Was ist Mathematik und was tun Mathematiker?- 2 Logik, Mengen, Abbildungen - die Sprache der Mathematik.- 2.1 Junktoren und Quantoren.- 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.- 2.3 Abbildungen.- 2.4 Relationen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 3 Algebraische Strukturen - ein Blick hinter die Rechenregeln.- 3.1 Gruppen.- 3.2 Homomorphismen.- 3.3 Körper.- 3.4 Ringe.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 4 Zahlbereiche - Basis nicht nur der Analysis.- 4.1 Reelle Zahlen.- 4.2 Körperaxiome für die reellen Zahlen.- 4.3 Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen.- 4.4 Ein Vollständigkeitsaxiom für die reellen Zahlen.- 4.5 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 4.6 Ganze Zahlen und rationale Zahlen.- 4.7 Komplexe Zahlen: Ihre Arithmetik und Geometrie.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 5 Lineare Gleichungssysteme - ein Tor zur linearen Algebra.- 5.1 Erste Lösungsversuche.- 5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan.- 5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 6 Vektorräume - von Basen und Dimensionen.- 6.1 Der Vektorraumbegriff.- 6.2 Beispiele von Vektorräumen.- 6.3 Untervektorräume.- 6.4 Basis und Dimension.- 6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorräumen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 7 Analytische Geometrie - Rechnen statt Zeichnen.- 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum.- 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum.- 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum.- 7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.- 7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 8 Folgen - der Weg ins Unendliche.- 8.1 Der Begriff einer Folge.- 8.2 Konvergenz.- 8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 9 Funktionen und Stetigkeit - e trifft auf d.- 9.1 Grundlegendes zu Funktionen.- 9.2 Beschränkte und monotone Funktionen.- 9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit.- 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen.- 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 10 Reihen - Summieren bis zum Letzten.- 10.1 Motivation und Definition.- 10.2 Kriterien für Konvergenz.- 10.3 Absolute Konvergenz.- 10.4 Kriterien für absolute Konvergenz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 11 Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen.- 11.1 Definition und Grundlagen.- 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen.- 11.3 Die Exponentialfunktion.- 11.4 Trigonometrische Funktionen.- 11.5 Der Logarithmus.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 12 Lineare Abbildungen und Matrizen - Brücken zwischen Vektorräumen.- 12.1 Definition und Beispiele.- 12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen.- 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel.- 12.4 Darstellungsmatrizen.- 12.5 Das Produkt von Matrizen.- 12.6 Das Invertieren von Matrizen.- 12.7 Elementarmatrizen.- 12.8 Basistransformation.- 12.9 Der Dualraum.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 13 Determinanten - Kenngrößen von Matrizen.- 13.1 Die Definition der Determinante.- 13.2 Determinanten von Endomorphismen.- 13.3 Berechnung der Determinante.- 13.4 Anwendungen der Determinante.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 14 Normalformen - Diagonalisieren und Triangulieren.- 14.1 Diagonalisierbarkeit.- 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit.- 14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen.- 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen.- 14.7 Die Jordan-Normalform.- 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 15 Differenzialrechnung - die Linearisierung von Funktionen.- 15.1 Die Ableitung.- 15.2 Differenziationsregeln.- 15.3 Der Mittelwertsatz.- 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen.- 15.5 Taylorreihen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 16 Integrale - von lokal zu global.- 16.1 Integration von Treppenfunktionen.- 16.2 Das Lebesgue-Integral.- 16.3 Stammfunktionen.- 16.4 Integrationstechniken.- 16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen.- 16.6 Parameterabhängige Integrale.- 16.7 Weitere Integrationsbegriffe.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 17 Euklidische und unitäre Vektorräume - orthogonales Diagonalisieren.- 17.1 Euklidische Vektorräume.- 17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität.- 17.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente.- 17.4 Unitäre Vektorräume.- 17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen.- 17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen.- 17.7 Normale Endomorphismen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 18 Quadriken - vielseitig nutzbare Punktmengen.- 18.1 Symmetrische Bilinearformen.- 18.2 Hermitesche Sesquilinearformen.- 18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation.- 18.4 Die Singulärwertzerlegung.- 18.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 19 Funktionenräume - Analysis und lineare Algebra Hand in Hand.- 19.1 Metrische Räume und ihre Topologie, normierte Räume.- 19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen.- 19.3 Kompaktheit.- 19.4 Zusammenhangsbegriffe.- 19.5 Vollständigkeit.- 19.6 Banach- und Hilberträume.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 20 Differenzialgleichungen - Funktionen sind gesucht.- 20.1 Begriffsbildungen.- 20.2 Elementare analytische Techniken.- 20.3 Existenz und Eindeutigkeit.- 20.4 Grundlegende numerische Verfahren.- Zusammenfassung.- Aufgaben .- 21 Funktionen mehrerer Variablen - Differenzieren im Raum.- 21.1 Einführung.- 21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe: Totale und partielle Differenzierbarkeit.- 21.3 Differenziationsregeln.- 21.4 Mittelwertsätze und Schranksätze.- 21.5 Höhere partielle Ableitungen und der der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz.- 21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema.- 21.7 Der Lokale Umkehrsatz.- 21.8 Der Satz über implizite Funktionen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 22 Gebietsintegrale - das Ausmessen von Mengen.- 22.1 Definition und Eigenschaften.- 22.2 Die Berechnung von Integralen.- 22.3 Die Transformationsformel.- 22.4 Wichtige Koordinatensysteme.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 23 Vektoranalysis - im Zentrum steht der Gauß'sche Satz.- 23.1 Kurven und Kurvenintegrale.- 23.2 Flächen und Flächenintegrale.- 23.3 Der Gauß'sche Satz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 24 Optimierung - ein sehr generelles Problem.- 24.1 Lineare Optimierung.- 24.2 Das Simplex-Verfahren.- 24.3 Dualitätstheorie.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 25 Elementare Zahlentheorie - Teiler und Vielfache.- 25.1 Teilbarkeit.- 25.2 Der euklidische Algorithmus.- 25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik.- 25.4 ggT und kgV.- 25.5 Zahlentheoretische Funktionen.- 25.6 Rechnen mit Kongruenzen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 26 Elemente der diskreten Mathematik - die Kunst des Zählens.- 26.1 Einführung in die Graphentheorie.- 26.2 Einführung in die Kombinatorik.- 26.3 Erzeugende Funktionen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- Hinweise zu den Aufgaben.- Lösungen zu den Aufgaben.- Symbolglossar.- Index.
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Review quote

..". sehr hilfreich ... mit vielen Hinweisen und Beispielen auf die Beweisf hrung als mathematische Grundlage ... sehr umfangreiches Lehrbuch ... den Erfordernissen zum Einstieg in das Mathematikstudium gerecht und kann somit uneingeschr nkt empfohlen werden." (in: Amazon.de, 18. November 2015)
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About Rolf Busam

PD Dr. Tilo Arens und PD Dr. Frank Hettlich sind beide als Dozenten an der Fakult t f r Mathematik des Karlsruher Instituts f r Technologie (KIT) t tig.

Dr. Rolf Busam ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der Universit t Heidelberg, h lt dort seit langen Jahren die Analysis-Vorlesungen und ist mitverantwortlich f r die Lehrerausbildung.

Prof. Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen Universit t M nchen; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

Dr. Dr. h.c. Hellmuth Stachel ist seit mehr als 30 Jahren Professor f r Geometrie an der Technischen Universit t Wien und seit 2011 emeritiert.
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